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"打破超級體育出款入款門檻：香港地區最新優惠揭秘"【神奇的財富公式——凱利公式】

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神奇的財富公式——凱利公式

嚴逸凱

愛做投資和料理的化學博士後

本來想寫輕倉的，但我覺得光雙11已經對重倉者有了充分的教育意義，此文章先暫緩。我們今天先來講講凱利公式。

開頭先問大家一個問題，圖片中有3條路線。哪一條路線小球會最先到達右下角？

有可能有些人已經知道答案了，圖中的b線路的達到目的點的用時最短。我們也稱之為「最速曲線」。雖然線路a的直線距離較短，但其沒有最充分的利用勢能增加速度。而最速曲線則平衡了速度和距離的矛盾，使小球最快速地抵達終點。

如果説要從投資界找出一條最速曲線的話，那也就「凱利公式」莫屬了。

在賭博遊戲中，你的單次收益是與你下注的量是成正比的。也就是最速曲線中的距離最短。但是如果你的下注量過大，在若干次下注後，你的破產幾率是十分高的。你的下注量過小，則資金的累積速度也是較慢的。

如何平衡這兩者間的矛盾？

貝爾實驗室的約翰凱利博士最早研究了這個問題。他證明了[1]申農在通訊噪音幹擾理論中使用的數學模型同樣適用於投資者對於風險和收益的管理。如果信息傳輸中將噪音幹擾引起的錯誤降低到零，那麼，同理，投資者在追求最大複利收益的同時也可以把坡長的風險降低到零。申農提出的這種兩全其美的理論同樣可以應用於賭博當中。可惜天妒英才，在凱利散步時，他向他同事喊道「等一會兒」。然後就倒地，最終死於腦溢血。當時他才41歲。

凱利公式的論文一經發表則引起了轟動。發現21點賭局漏洞的索普在其橫掃美國賭場中應用了凱利公式來管理其資金，避免破產的風險。沃倫巴菲特的投資組合中也完美地使用了凱利公式。

這個神奇的財富公式長啥樣？

f=rac{ b imes p-q}{b}

式中f為你該用資產多少比例下注

b為盈虧比

p為勝率

q為虧損概率，即q=1-p

其公式證明過程如下：

哈哈，繁複的證明過程可以略過，對於普通人沒啥意義。我們只要知道公式本身就行~

如果有興趣的同學可以私下研究。

經典的公式往往簡單到極富美感，凱利公式就是其一。區區幾個變量就能有這效果，實在是領人陶醉。我們只需使用連小學生都會的加減乘除，即能獲得我們的倉位極限。

舉點例子，來看看其作用：

假設：勝率p為0.6,盈虧比b為1.3

所以，經計算本賭局的期望值EV為0.38，對賭徒有利

設初始資金為1

初始倉位為0.1f至1.9f，即凱利公式所計算的倉位的0.1倍至2倍

則交易次數為200次後，最終資金數額為下圖所示

圖中橫坐標為倉位，如0.1代表0.1倍的f，1.3為1.3倍的f。縱坐標為資金額度。

從圖中我們可以明顯看出，經過多次的模擬實驗後倉位在f下的資金增長速度是最快的。正如凱利本人所説，在賭局有利條件下，即期望值為正時，根據凱利系統操作就可以在免於破產的情況下獲得最大額度的利潤。

那麼如果期望值為0或者負時怎麼辦？凱利所給出的最佳結論是停止下注！任何倉位控制或者加減倉方法，都無法長久盈利下去！

從上面的結果我們可以看出，盈虧比和勝率決定了f，f決定了資金增長速率。那麼期望值EV不變，p和b的改變會對f有什麼影響？進一步對資金增長速率有什麼影響？

看以下表格

從表中我們可以發現所有的系統EV都是相等的。盈虧比b越小，勝率p越大，而f越大。在EV相同時，資金的增長速率只與單次下注額有關。所以提高勝率可以明顯提高我們每次賭局的最大下注額，提升資金增長速度。

那這結論有何實際意義？對於低勝率的趨勢交易者，在一定條件下提高勝率可以大幅提高所能下注的最大額度，加快資金的積累。注意，這條結論只是在理論條件下。且不論趨勢交易者提高勝率的難度，更有時不時飛過一尾黑天鵝飄過的影響。

凱利公式雖如此之厲害，但我更關心其在股票和期貨市場的應用。凱利公式最開始應用時是用於賭馬、21點和輪盤等項目。這些項目與股票和期貨市場是有十分大的不同點的。也就是這些不同點造成了凱利公式在運用於這些市場時會遇到一些問題。

首先，賭場裏的項目勝率和盈虧比都是基本固定的。你壓上注，贏多少，即盈虧比都是一個固定值。根據計算，你也很容易獲得單次的獲勝概率。你每一次的賭博的p和b都是統一值，即是接近真值的。這個數值除非賭場改變規則，調整賭博器具或是出老千，才能改變其數值。而股票和期貨市場則不同。我們雖然可以通過歷史數據回測計算其平均勝率和盈虧比，但是這些數值只是一個統計量，我們所獲得也都是平均值。比如盈虧比p為3，這只是所有數據的平均值，實際每一筆盈利有可能是2，也有可能是4。對於虧損來講，股票和期貨市場是有可能超過你的平均值的。這就導致了使用p和b的平均數去計算凱利公式的f值會偏大。比如説你碰到了連續3次1.5倍平均值的虧損，那你會發生一次十分巨大的回撤。但是凱利公式中的均值將這些偏大的虧損都被平均了。你的交易數據越離散，平均值越不能代表總體。如果強行使用凱利公式，則有可能發生致命問題，誰都不會拿自己的資金去開這樣的玩笑。

其次，賭場中的項目每次都是獨立事件，其概率沒有連續性。這也就我們耳熟能詳的「賭徒謬論」的基礎。在賭博中，一但出現連續虧損，賭徒會傾向於之後下更大的注。這是典型的謬論，因為在賭博中每一局都是獨立事件，本次的結果對於下一次的概率沒有影響。關於賭徒謬論會在之後的章節詳細討論，本文不作詳細討論。在股票和期貨市場中卻與純賭博的系統有很大區別。正如我們在第一篇中所説的（），市場的後一日的漲跌是有可能與前一日的漲跌有關係的。這也是趨勢交易者的利潤所在。換句話説，股票和期貨市場的每次下注的結果是有連續性的，而不是純隨機的獨立事件。實際市場是具有肥尾的，而不是標準的正態分佈。從結果來看也就是更容易產生連續的虧損，一但碰到這種肥尾，對於投資者的損失必然是巨大的。凱利公式的推導是基於純隨機的系統，市場只有Hurst值在0.5時，才能使用其計算f值。而非隨機的股票和期貨市場中使用凱利公式時，計算出的f值也會偏大，導致資金增長率的下降。

綜上所述，凱利公式在應用於股票和期貨市場時會有很大的問題。有經驗的人士都會覺得凱利公式所計算出的倉位是極其激進的。那麼是不是不能使用了？或者有什麼辦法能夠曲線救國呢？

首先明確一點，凱利公式的第一目的是控制破產風險，而不是提高你的資產增長率。所以，為了解決實際應用問題，筆者推薦兩個方案：

1）以最大回撤為計算指標的倉位計算。知乎的ddr Fe的回答十分精彩，有意者可移步（）。

2）如果您懶得去研究這些數學問題，那麼工科有工科的解決方法。您可以根據自己的系統參數所計算出的f值乘上一個系數去控制你的最大倉位。

此處所計算出的f不是你能買多少股票，而是你的單筆損失佔總本金的比例。

這一個系數經驗值在30%至50%，如果是一位風險承受度較低的投資者，可進一步降低其系數。

另外，就算理論上計算出了最大倉位值，也必須匹配個人的心理承受能力去操作。每個都有其所能承受的最大倉位限制。超過這一限制，個人對系統的執行力會顯着地下降，也就是操作會變形。個人還需結合自己的實際情況進行資金管理。

結論：

1 期望值為正時，凱利公式是在賭徒免於破產的情況下，最快速增加資產的倉位控制。

2 期望值為零與負時，停止下注。

3 相同期望值時，提高系統的勝率可以提高最大倉位，提高資產增長率。

4 凱利公式應用於股票和期貨市場時，由於市場狀態的不同，而不能使用過於激進的凱利公式計算倉位。