"超級體育注冊app：香港地區最佳綫上賭場選擇"【用白話文談數學公式 - 期望值(Expected value)】

用白話文談數學公式 - 期望值(Expected value)

Posted on Mar 25, 2023 in

數學概念

一直以來都覺得「期望值」這個詞很困惑，期望值到底是誰的期望？為什麼期望會有值？相當謎啊⋯⋯。

後來讀了一些文件之後，就比較了解期望值的意義是什麼，所以特別用比較白話的方式寫成一篇文章。

期望值通常用 E(X) 表示，其中 X 是一個隨機變量(random vairable)。

在一個離散型隨機變量中，期望值可以通過以下公式計算：

其中 是隨機變量可能抽到的值，是該值發生的機率。按照公式期望值是所有隨機變量的值與其發生機率相乘後的總和。

拿硬幣正反面為例，假設丟硬幣人頭面朝上值為 0, 反之則為 1, 那麼 其實就只有 與 兩種情況，這 2 種情況的機率各為 50%, 也就是 與 都是 0.5 。

所以，每次丟硬幣的期望值為 0.5, 其計算過程如下：

對我而言，這個期望值 0.5 到底是什麼意思，是最為困惑的事情。

但只要再舉個例子，就可以更清楚什麼是期望值。

同樣繼續延伸丟硬幣的話題，只是這次你是莊家，當賭徒丟到錢幣面朝上時，你得給賭徒 1 塊錢獎金。

但是賠本生意沒人要做，我們得訂出參加費才行，可是多少的參加費才不能賠本？

最好情況下，當然是賭徒一直丟到人頭面，所以我們可以一直拿到參加費，不用給出任何獎金。

最差情況下，是賭徒一次就丟到錢幣面，所以我們得給出 1 塊錢獎金，所以參加費至少要 1 塊錢才能不虧本，但是賭徒也不是笨蛋，我們收 1 塊錢以上的參加費就沒有任何誘因可以吸引賭徒加入賭局。

所以我們用平均的方式把獎金的成本也攤到賭徒沒丟中的事件上，也是假設賭徒至少有1 次會沒丟中，因此 1 塊錢除以 2 種情況，得出我們可以把參加費用設定為至少 0.5, 如此一來就是在最好與最壞情況之間有個折衷，同時也有誘因吸引賭徒。

所以期望值考慮的就是平均情況之下（排除最好與最壞情況），我們做一件事情要設定的成本或者預期的獲利。

也因此期望值才是用各種可能的值乘以發生機率做總和。

同樣繼續延伸丟硬幣的話題，只是這次你是賭徒。

對賭徒而言，需要理性判斷要不要參加賭局，才能夠避免損失。

我們已經知道丟硬幣期望值為 0.5, 就是你參加 1 次賭局的預期獲利，如果莊家規定參加費用為 0.8 塊，那麼你的預期獲利 0.5 扣掉 0.8 為 -0.3 。

這代表參加賭局對賭徒而言不划算，因為扣掉參加費用，一開始就已經預期要輸 0.3 塊給莊家了，所以最好別參加賭局。

所以考慮成本與期望值之後，也能夠提供我們較客觀的決策，決定是否要執行一件事。

會算硬幣期望值之後，應該就會計算骰子的期望值了：

這代表長期一直丟骰子的話，我們應該會得到接近 3.5 的點數平均值。

期望值在統計學和機率論中有廣泛的應用，例如在BETHKD博弈、金融等領域。

在賭博中，期望值可以用來計算賭徒的預期收益和損失，幫助他們做出更明智的決策。

在金融中，期望值可以用來計算股票、債券等金融產品的預期收益率，並且是許多金融衍生品定價的基礎。

總結來説，期望值是統計學中一個重要的概念，可以用來描述一個隨機變量的平均值，是一個很簡單卻又很實用的概念。

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